如何运用贪心思想玩跳跃游戏

labuladong2022-08-142024-02-15

如何运用贪心思想玩跳跃游戏

读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

LeetCode	力扣	难度
45. Jump Game IIopen in new window	45. 跳跃游戏 IIopen in new window	🟠
55. Jump Gameopen in new window	55. 跳跃游戏open in new window	🟠

经常有读者在后台问，动态规划和贪心算法到底有啥关系。我们之前的文章贪心算法之区间调度问题就说过一个常见的时间区间调度的贪心算法问题。

说白了，贪心算法可以理解为一种特殊的动态规划问题，拥有一些更特殊的性质，可以进一步降低动态规划算法的时间复杂度。那么这篇文章，就讲 LeetCode 上两道经典的贪心算法：跳跃游戏 I 和跳跃游戏 II。

我们可以对这两道题分别使用动态规划算法和贪心算法进行求解，通过实践，你就能更深刻地理解贪心和动规的区别和联系了。

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#Jump Game I

这是力扣第 55 题「跳跃游戏open in new window」，难度是中等，但实际上比较简单，看题目：

55. 跳跃游戏 | 力扣 | LeetCode |

给你一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。

判断你是否能够到达最后一个下标，如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,1,4]
输出：true
解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。

示例 2：

输入：nums = [3,2,1,0,4]
输出：false
解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ， 所以永远不可能到达最后一个下标。

提示：

1 <= nums.length <= 10⁴
0 <= nums[i] <= 10⁵

不知道读者有没有发现，有关动态规划的问题，大多是让你求最值的，比如最长子序列，最小编辑距离，最长公共子串等等等。这就是规律，因为动态规划本身就是运筹学里的一种求最值的算法。

那么贪心算法作为特殊的动态规划也是一样，也一定是让你求个最值。这道题表面上不是求最值，但是可以改一改：

请问通过题目中的跳跃规则，最多能跳多远？如果能够越过最后一格，返回 true，否则返回 false。

所以说，这道题肯定可以用动态规划求解的。但是由于它比较简单，下一道题再用动态规划和贪心思路进行对比，现在直接上贪心的思路：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

boolean canJump(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int farthest = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        // 不断计算能跳到的最远距离
        farthest = Math.max(farthest, i + nums[i]);
        // 可能碰到了 0，卡住跳不动了
        if (farthest <= i) {
            return false;
        }
    }
    return farthest >= n - 1;
}

👾 代码可视化动画 👾

你别说，如果之前没有做过类似的题目，还真不一定能够想出来这个解法。每一步都计算一下从当前位置最远能够跳到哪里，然后和一个全局最优的最远位置 farthest 做对比，通过每一步的最优解，更新全局最优解，这就是贪心。

很简单是吧？记住这一题的思路，看第二题，你就发现事情没有这么简单。。。

#Jump Game II

这是力扣第 45 题「跳跃游戏 IIopen in new window」，也是让你在数组上跳，不过难度是 Hard，解法可没上一题那么简单直接：

45. 跳跃游戏 II | 力扣 | LeetCode |

给定一个长度为 n 的 0 索引整数数组 nums。初始位置为 nums[0]。

每个元素 nums[i] 表示从索引 i 向前跳转的最大长度。换句话说，如果你在 nums[i] 处，你可以跳转到任意 nums[i + j] 处:

0 <= j <= nums[i]
i + j < n

返回到达 nums[n - 1] 的最小跳跃次数。生成的测试用例可以到达 nums[n - 1]。

示例 1:

输入: nums = [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
     从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。

示例 2:

输入: nums = [2,3,0,1,4]
输出: 2

提示:

1 <= nums.length <= 10⁴
0 <= nums[i] <= 1000
题目保证可以到达 nums[n-1]

现在的问题是，保证你一定可以跳到最后一格，请问你最少要跳多少次，才能跳过去。

我们先来说说动态规划的思路，采用自顶向下的递归动态规划，可以这样定义一个 dp 函数：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

// 定义：从索引 p 跳到最后一格，至少需要 dp(nums, p) 步
int dp(int[] nums, int p);

我们想求的结果就是 dp(nums, 0)，base case 就是当 p 超过最后一格时，不需要跳跃：

if (p >= nums.length - 1) {
    return 0;
}

根据前文动态规划套路详解的动规框架，就可以暴力穷举所有可能的跳法，通过备忘录 memo 消除重叠子问题，取其中的最小值最为最终答案：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

class Solution {
    int[] memo;
    // 主函数
    public int jump(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // 备忘录都初始化为 n，相当于 INT_MAX
        // 因为从 0 跳到 n - 1 最多 n - 1 步
        memo = new int[n];
        Arrays.fill(memo, n);

        return dp(nums, 0);
    }

    // 定义：从索引 p 跳到最后一格，至少需要 dp(nums, p) 步
    int dp(int[] nums, int p) {
        int n = nums.length;
        // base case
        if (p >= n - 1) {
            return 0;
        }
        // 子问题已经计算过
        if (memo[p] != n) {
            return memo[p];
        }
        int steps = nums[p];
        // 你可以选择跳 1 步，2 步...
        for (int i = 1; i <= steps; i++) {
            // 穷举每一个选择
            // 计算每一个子问题的结果
            int subProblem = dp(nums, p + i);
            // 取其中最小的作为最终结果
            memo[p] = Math.min(memo[p], subProblem + 1);
        }
        return memo[p];
    }
}

这个动态规划应该很明显了，按照前文动态规划套路详解所说的套路，状态就是当前所站立的索引 p，选择就是可以跳出的步数。

该算法的时间复杂度是递归深度 × 每次递归需要的时间复杂度，即 O(N^2)，在 LeetCode 上是无法通过所有用例的，会超时。

贪心算法比动态规划多了一个性质：贪心选择性质。我知道大家都不喜欢看严谨但枯燥的数学形式定义，那么我们就来直观地看一看什么样的问题满足贪心选择性质。

刚才的动态规划思路，不是要穷举所有子问题，然后取其中最小的作为结果吗？核心的代码框架是这样：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int steps = nums[p];
// 你可以选择跳 1 步，2 步...
for (int i = 1; i <= steps; i++) {
    // 计算每一个子问题的结果
    int subProblem = dp(nums, p + i);
    res = min(subProblem + 1, res);
}

for 循环中会陷入递归计算子问题，这是动态规划时间复杂度高的根本原因。

但是，真的需要「递归地」计算出每一个子问题的结果，然后求最值吗？直观地想一想，似乎不需要递归，只需要判断哪一个选择最具有「潜力」即可：

比如上图这种情况，我们站在索引 0 的位置，可以向前跳 1，2 或 3 步，你说应该选择跳多少呢？

显然应该跳 2 步调到索引 2，因为 nums[2] 的可跳跃区域涵盖了索引区间 [3..6]，比其他的都大。如果想求最少的跳跃次数，那么往索引 2 跳必然是最优的选择。

你看，这就是贪心选择性质，我们不需要「递归地」计算出所有选择的具体结果然后比较求最值，而只需要做出那个最有「潜力」，看起来最优的选择即可。

绕过这个弯儿来，就可以写代码了：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int jump(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int end = 0, farthest = 0;
    int jumps = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        farthest = Math.max(nums[i] + i, farthest);
        if (end == i) {
            jumps++;
            end = farthest;
        }
    }
    return jumps;
}