一个方法团灭 LeetCode 打家劫舍问题

labuladong2022-08-142024-02-15

一个方法团灭 LeetCode 打家劫舍问题

读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

LeetCode	力扣	难度
198. House Robberopen in new window	198. 打家劫舍open in new window	🟠
213. House Robber IIopen in new window	213. 打家劫舍 IIopen in new window	🟠
337. House Robber IIIopen in new window	337. 打家劫舍 IIIopen in new window	🟠
-	剑指 Offer II 089. 房屋偷盗open in new window	🟠
-	剑指 Offer II 090. 环形房屋偷盗open in new window	🟠

有读者私下问我 LeetCode 「打家劫舍」系列问题（英文版叫 House Robber）怎么做，我发现这一系列题目的点赞非常之高，是比较有代表性和技巧性的动态规划题目，今天就来聊聊这道题目。

打家劫舍系列总共有三道，难度设计非常合理，层层递进。第一道是比较标准的动态规划问题，而第二道融入了环形数组的条件，第三道更绝，把动态规划的自底向上和自顶向下解法和二叉树结合起来，我认为很有启发性。如果没做过的朋友，建议学习一下。

下面，我们从第一道开始分析。

#打家劫舍 I

力扣第 198 题「打家劫舍open in new window」的题目如下：

街上有一排房屋，用一个包含非负整数的数组 nums 表示，每个元素 nums[i] 代表第 i 间房子中的现金数额。现在你是一名专业小偷，你希望尽可能多的盗窃这些房子中的现金，但是，相邻的房子不能被同时盗窃，否则会触发报警器，你就凉凉了。

请你写一个算法，计算在不触动报警器的前提下，最多能够盗窃多少现金呢？函数签名如下：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int rob(int[] nums);

比如说输入 nums=[2,1,7,9,3,1]，算法返回 12，小偷可以盗窃 nums[0], nums[3], nums[5] 三个房屋，得到的现金之和为 2 + 9 + 1 = 12，是最优的选择。

题目很容易理解，而且动态规划的特征很明显。我们前文动态规划详解做过总结，解决动态规划问题就是找「状态」和「选择」，仅此而已。

🌟

假想你就是这个专业强盗，从左到右走过这一排房子，在每间房子前都有两种选择：抢或者不抢。

如果你抢了这间房子，那么你肯定不能抢相邻的下一间房子了，只能从下下间房子开始做选择。

如果你不抢这件房子，那么你可以走到下一间房子前，继续做选择。

当你走过了最后一间房子后，你就没得抢了，能抢到的钱显然是 0（base case）。

以上的逻辑很简单吧，其实已经明确了「状态」和「选择」：你面前房子的索引就是状态，抢和不抢就是选择。

在两个选择中，每次都选更大的结果，最后得到的就是最多能抢到的 money：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

class Solution {
    // 主函数
    public int rob(int[] nums) {
        return dp(nums, 0);
    }
    // 返回 nums[start..] 能抢到的最大值
    private int dp(int[] nums, int start) {
        if (start >= nums.length) {
            return 0;
        }
        
        int res = Math.max(
                // 不抢，去下家
                dp(nums, start + 1), 
                // 抢，去下下家
                nums[start] + dp(nums, start + 2)
            );
        return res;
    }
}

明确了状态转移，就可以发现对于同一 start 位置，是存在重叠子问题的，比如下图：

盗贼有多种选择可以走到这个位置，如果每次到这都进入递归，岂不是浪费时间？所以说存在重叠子问题，可以用备忘录进行优化：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

class Solution {

    private int[] memo;
    // 主函数
    public int rob(int[] nums) {
        // 初始化备忘录
        memo = new int[nums.length];
        Arrays.fill(memo, -1);
        // 强盗从第 0 间房子开始抢劫
        return dp(nums, 0);
    }

    // 返回 dp[start..] 能抢到的最大值
    private int dp(int[] nums, int start) {
        if (start >= nums.length) {
            return 0;
        }
        // 避免重复计算
        if (memo[start] != -1) return memo[start];
        
        int res = Math.max(
            dp(nums, start + 1), 
            dp(nums, start + 2) + nums[start]
        );
        // 记入备忘录
        memo[start] = res;
        return res;
    }
}

🌈 代码可视化动画 🌈

这就是自顶向下的动态规划解法，我们也可以略作修改，写出自底向上的解法：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int rob(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // dp[i] = x 表示：
    // 从第 i 间房子开始抢劫，最多能抢到的钱为 x
    // base case: dp[n] = 0
    int[] dp = new int[n + 2];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        dp[i] = Math.max(dp[i + 1], nums[i] + dp[i + 2]);
    }
    return dp[0];
}

我们又发现状态转移只和 dp[i] 最近的两个状态有关，所以可以进一步优化，将空间复杂度降低到 O(1)。

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int rob(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 记录 dp[i+1] 和 dp[i+2]
    int dp_i_1 = 0, dp_i_2 = 0;
    // 记录 dp[i]
    int dp_i = 0; 
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        dp_i = Math.max(dp_i_1, nums[i] + dp_i_2);
        dp_i_2 = dp_i_1;
        dp_i_1 = dp_i;
    }
    return dp_i;
}

以上的流程，在我们动态规划详解中详细解释过，相信大家都能手到擒来了。我认为很有意思的是这个问题的 follow up，需要基于我们现在的思路做一些巧妙的应变。

#打家劫舍 II

力扣第 213 题「打家劫舍 IIopen in new window」和上一道题描述基本一样，强盗依然不能抢劫相邻的房子，输入依然是一个数组，但是告诉你这些房子不是一排，而是围成了一个圈。

也就是说，现在第一间房子和最后一间房子也相当于是相邻的，不能同时抢。比如说输入数组 nums=[2,3,2]，算法返回的结果应该是 3 而不是 4，因为开头和结尾不能同时被抢。

这个约束条件看起来应该不难解决，我们前文单调栈问题汇总说过一种解决环形数组的方案，那么在这个问题上怎么处理呢？

首先，首尾房间不能同时被抢，那么只可能有三种不同情况：要么都不被抢；要么第一间房子被抢最后一间不抢；要么最后一间房子被抢第一间不抢。

那就简单了啊，这三种情况，哪种的结果最大，就是最终答案呗！不过，其实我们不需要比较三种情况，只要比较情况二和情况三就行了，因为这两种情况对于房子的选择余地比情况一大呀，房子里的钱数都是非负数，所以选择余地大，最优决策结果肯定不会小。

所以只需对之前的解法稍作修改即可：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

class Solution {

    public int rob(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n == 1) return nums[0];
        return Math.max(robRange(nums, 0, n - 2), 
                        robRange(nums, 1, n - 1));
    }

    // 仅计算闭区间 [start,end] 的最优结果
    int robRange(int[] nums, int start, int end) {
        int n = nums.length;
        int dp_i_1 = 0, dp_i_2 = 0;
        int dp_i = 0;
        for (int i = end; i >= start; i--) {
            dp_i = Math.max(dp_i_1, nums[i] + dp_i_2);
            dp_i_2 = dp_i_1;
            dp_i_1 = dp_i;
        }
        return dp_i;
    }
}

至此，第二问也解决了。

#打家劫舍 III

力扣第 337 题「打家劫舍 IIIopen in new window」又想法设法地变花样了，此强盗发现现在面对的房子不是一排，不是一圈，而是一棵二叉树！房子在二叉树的节点上，相连的两个房子不能同时被抢劫，果然是传说中的高智商犯罪：

函数的签名如下：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int rob(TreeNode root);

比如说输入为下图这样一棵二叉树：

算法应该返回 7，因为抢劫第一层和第三层的房子可以得到最高金额 3 + 3 + 1 = 7。

如果输入为下图这棵二叉树：

那么算法应该返回 9，如果抢劫第二层的房子可以获得最高金额 4 + 5 = 9。

整体的思路完全没变，还是做抢或者不抢的选择，去收益较大的选择。甚至我们可以直接按这个套路写出代码：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

class Solution {
    Map<TreeNode, Integer> memo = new HashMap<>();
    public int rob(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        // 利用备忘录消除重叠子问题
        if (memo.containsKey(root)) 
            return memo.get(root);
        // 抢，然后去下下家
        int do_it = root.val
            + (root.left == null ? 
                0 : rob(root.left.left) + rob(root.left.right))
            + (root.right == null ? 
                0 : rob(root.right.left) + rob(root.right.right));
        // 不抢，然后去下家
        int not_do = rob(root.left) + rob(root.right);
        
        int res = Math.max(do_it, not_do);
        memo.put(root, res);
        return res;
    }
}

👾 代码可视化动画 👾

这道题就解决了，时间复杂度 O(N)，N 为数的节点数。

但是这道题让我觉得巧妙的点在于，还有更漂亮的解法。比如下面是我在评论区看到的一个解法：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

class Solution {
    int rob(TreeNode root) {
        int[] res = dp(root);
        return Math.max(res[0], res[1]);
    }

    /* 返回一个大小为 2 的数组 arr
    arr[0] 表示不抢 root 的话，得到的最大钱数
    arr[1] 表示抢 root 的话，得到的最大钱数 */
    int[] dp(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return new int[]{0, 0};
        int[] left = dp(root.left);
        int[] right = dp(root.right);
        // 抢，下家就不能抢了
        int rob = root.val + left[0] + right[0];
        // 不抢，下家可抢可不抢，取决于收益大小
        int not_rob = Math.max(left[0], left[1])
                    + Math.max(right[0], right[1]);
        
        return new int[]{not_rob, rob};
    }
}