带权重的随机选择算法

labuladong2022-08-142024-02-15

带权重的随机选择算法

读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

LeetCode	力扣	难度
528. Random Pick with Weightopen in new window	528. 按权重随机选择open in new window	🟠
-	剑指 Offer II 071. 按权重生成随机数open in new window	🟠

写这篇的文章的原因是玩 LOL 手游。

我有个朋友抱怨说打排位匹配的队友太菜了，我就说我打排位觉得队友都挺行的啊，好像不怎么坑？

朋友意味深长地说了句：一般隐藏分比较高的玩家，排位如果排不到实力相当的队友，就会排到一些菜狗。

嗯？我想了几秒钟感觉这小伙子不对劲，他意思是说我隐藏分低，还是说我就是那条菜狗？

我立马要求和他开黑打一把，证明我不是菜狗，他才是菜狗。开黑结果这里不便透露，大家猜猜吧。

打完之后我就来发文了，因为我对游戏的匹配机制有了一点思考。

所谓「隐藏分」我不知道是不是真的，毕竟匹配机制是所有竞技类游戏的核心环节，想必非常复杂，不是简单几个指标就能搞定的。

但是如果把这个「隐藏分」机制简化，倒是一个值得思考的算法问题：系统如何以不同的随机概率进行匹配？

或者简单点说，如何带权重地做随机选择？

不要觉得这个很容易，如果给你一个长度为 n 的数组，让你从中等概率随机抽取一个元素，你肯定会做，random 一个 [0, n-1] 的数字出来作为索引就行了，每个元素被随机选到的概率都是 1/n。

但假设每个元素都有不同的权重，权重地大小代表随机选到这个元素的概率大小，你如何写算法去随机获取元素呢？

力扣第 528 题「按权重随机选择open in new window」就是这样一个问题：

528. 按权重随机选择 | 力扣 | LeetCode |

给你一个 下标从 0 开始 的正整数数组 w ，其中 w[i] 代表第 i 个下标的权重。

请你实现一个函数 pickIndex ，它可以 随机地 从范围 [0, w.length - 1] 内（含 0 和 w.length - 1）选出并返回一个下标。选取下标 i 的概率为 w[i] / sum(w) 。

例如，对于 w = [1, 3]，挑选下标 0 的概率为 1 / (1 + 3) = 0.25 （即，25%），而选取下标 1 的概率为 3 / (1 + 3) = 0.75（即，75%）。

示例 1：

输入：
["Solution","pickIndex"]
[[[1]],[]]
输出：
[null,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1]);
solution.pickIndex(); // 返回 0，因为数组中只有一个元素，所以唯一的选择是返回下标 0。

示例 2：

输入：
["Solution","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex"]
[[[1,3]],[],[],[],[],[]]
输出：
[null,1,1,1,1,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1, 3]);
solution.pickIndex(); // 返回 1，返回下标 1，返回该下标概率为 3/4 。
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 0，返回下标 0，返回该下标概率为 1/4 。

由于这是一个随机问题，允许多个答案，因此下列输出都可以被认为是正确的:
[null,1,1,1,1,0]
[null,1,1,1,1,1]
[null,1,1,1,0,0]
[null,1,1,1,0,1]
[null,1,0,1,0,0]
……
诸若此类。

提示：

1 <= w.length <= 10⁴
1 <= w[i] <= 10⁵
pickIndex 将被调用不超过 10⁴ 次

我们就来思考一下这个问题，解决按照权重随机选择元素的问题。

🌟

#解法思路

首先回顾一下我们和随机算法有关的历史文章：

后文设计随机删除元素的数据结构主要考察的是数据结构的使用，每次把元素移到数组尾部再删除，可以避免数据搬移。

后文谈谈游戏中的随机算法讲的是经典的「水塘抽样算法」，运用简单的数学运算，在无限序列中等概率选取元素。

前文算法笔试技巧中我还分享过一个巧用概率最大化测试用例通过率的骗分技巧。

不过上述旧文并不能解决本文提出的问题，反而是前文前缀和技巧加上二分搜索详解能够解决带权重的随机选择算法。

这个随机算法和前缀和技巧和二分搜索技巧能扯上啥关系？且听我慢慢道来。

假设给你输入的权重数组是 w = [1,3,2,1]，我们想让概率符合权重，那么可以抽象一下，根据权重画出这么一条彩色的线段：

如果我在线段上面随机丢一个石子，石子落在哪个颜色上，我就选择该颜色对应的权重索引，那么每个索引被选中的概率是不是就是和权重相关联了？

所以，你再仔细看看这条彩色的线段像什么？这不就是前缀和数组嘛：

那么接下来，如何模拟在线段上扔石子？

当然是随机数，比如上述前缀和数组 preSum，取值范围是 [1, 7]，那么我生成一个在这个区间的随机数 target = 5，就好像在这条线段中随机扔了一颗石子：

还有个问题，preSum 中并没有 5 这个元素，我们应该选择比 5 大的最小元素，也就是 6，即 preSum 数组的索引 3：

如何快速寻找数组中大于等于目标值的最小元素？二分搜索算法就是我们想要的。

到这里，这道题的核心思路就说完了，主要分几步：

1、根据权重数组 w 生成前缀和数组 preSum。

2、生成一个取值在 preSum 之内的随机数，用二分搜索算法寻找大于等于这个随机数的最小元素索引。

3、最后对这个索引减一（因为前缀和数组有一位索引偏移），就可以作为权重数组的索引，即最终答案:

#解法代码

上述思路应该不难理解，但是写代码的时候坑可就多了。

要知道涉及开闭区间、索引偏移和二分搜索的题目，需要你对算法的细节把控非常精确，否则会出各种难以排查的 bug。

下面来抠细节，继续前面的例子：

就比如这个 preSum 数组，你觉得随机数 target 应该在什么范围取值？闭区间 [0, 7] 还是左闭右开 [0, 7)？

都不是，应该在闭区间 [1, 7] 中选择，因为前缀和数组中 0 本质上是个占位符，仔细体会一下：

所以要这样写代码：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int n = preSum.length;
// target 取值范围是闭区间 [1, preSum[n - 1]]
int target = rand.nextInt(preSum[n - 1]) + 1;

接下来，在 preSum 中寻找大于等于 target 的最小元素索引，应该用什么品种的二分搜索？搜索左侧边界的还是搜索右侧边界的？

实际上应该使用搜索左侧边界的二分搜索：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

// 搜索左侧边界的二分搜索
int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left;
}

前文二分搜索详解着重讲了数组中存在目标元素重复的情况，没仔细讲目标元素不存在的情况，这里补充一下。

当目标元素 target 不存在数组 nums 中时，搜索左侧边界的二分搜索的返回值可以做以下几种解读：

1、返回的这个值是 nums 中大于等于 target 的最小元素索引。

2、返回的这个值是 target 应该插入在 nums 中的索引位置。

3、返回的这个值是 nums 中小于 target 的元素个数。

比如在有序数组 nums = [2,3,5,7] 中搜索 target = 4，搜索左边界的二分算法会返回 2，你带入上面的说法，都是对的。

所以以上三种解读都是等价的，可以根据具体题目场景灵活运用，显然这里我们需要的是第一种。

综上，我们可以写出最终解法代码：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

class Solution {
    // 前缀和数组
    private int[] preSum;
    private Random rand = new Random();
    
    public Solution(int[] w) {
        int n = w.length;
        // 构建前缀和数组，偏移一位留给 preSum[0]
        preSum = new int[n + 1];
        preSum[0] = 0;
        // preSum[i] = sum(w[0..i-1])
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            preSum[i] = preSum[i - 1] + w[i - 1];
        }
    }
    
    public int pickIndex() {
        int n = preSum.length;
        // Java 的 nextInt(n) 方法在 [0, n) 中生成一个随机整数
        // 再加一就是在闭区间 [1, preSum[n - 1]] 中随机选择一个数字
        int target = rand.nextInt(preSum[n - 1]) + 1;
        // 获取 target 在前缀和数组 preSum 中的索引
        // 别忘了前缀和数组 preSum 和原始数组 w 有一位索引偏移
        return left_bound(preSum, target) - 1;
    }

    // 搜索左侧边界的二分搜索
    private int left_bound(int[] nums, int target) {
        // 见上文
    }
}